從電腦科學到醫學再到國家安全，數學是眾多關鍵應用的基石，但數學領域的進步可能需要數年時間才能實現。
　　
幾百年來，數學家使用的工具依然簡樸：一張紙、一支筆。他們憑藉邏輯與靈感，在符號的迷宮中尋找通往真理的路徑。
　　
為了打破這一局面，美國國防高級研究計畫局今年4月啟動了“指數性數學”計畫，旨在開發一種能極大提升數學研究效率的人工智慧（AI）“合著者”系統。
　　
幾十年來，數學家借助電腦進行輔助計算或驗證命題，如今的AI或許能更上層樓，挑戰那些人類長年未解的難題。不過，從能解高中題的AI，到能協助攻克前沿數學難關的AI，中間仍隔著一道鴻溝。

解決重大難題仍力不從心
　　
大型語言模型（LLM）並不擅長數學。它們常常出現“幻覺”，甚至可能被誤導相信2+2=5。但新一代大型推理模型，如OpenAI的o3、Anthropic的Claude 4 Thinking等，展現出的進步令數學家眼前一亮。
　　
今年，這些模型在美國數學邀請賽中的表現接近優秀高中生水準。不同於過去“一錘定音”式的輸出，這些模型開始嘗試模擬數學家逐步推理的思考過程。
　　
同時，一些將LLM與某種事實核查系統相結合的新型混合模型也取得了突破。例如，穀歌“深度思維”的AlphaProof系統將語言模型與棋類AI——AlphaZero結合，成為首個取得與國際數學奧林匹克競賽銀牌得主成績相當的系統。今年5月，穀歌的AlphaEvolve模型更進一步，在多個長期未解的數學與計算難題上找到優於人類現有方案的解法。
　　
美國《麻省理工科技評論》指出，儘管這些AI成績亮眼，但專家們普遍認為，它們仍不具備真正的協助科研的能力。競賽題雖難，卻更像是智力遊戲，有一定“套路”。真正的數學研究則更開放、更複雜。面對“P vs NP”“黎曼猜想”等重大難題時，AI仍力不從心。
　　
為了更準確地評估AI的能力，初創公司Epoch AI去年推出了FrontierMath測試，聯合60多位數學家設計出全新高難度題目，避開模型已見過的訓練數據，結果LLM幾乎集體“交白卷”。
　　
這些測試表明，AI在數學道路上雖已邁步，但離“合著者”角色仍有很長一段路要走。
　　
需攻克“超長推理鏈”
　　
仔細觀察數學問題會發現，它們在某些方面類似：解決問題需完成一系列連續步驟，關鍵在於找到這些步驟。
　　
美國加州理工學院謝爾蓋·古科夫指出，困難的差異往往體現在路徑的長度上。高中數學可能只需10到40步，而像黎曼猜想這樣的難題，路徑可能長達百萬步。
　　
這類“超長路徑”極難處理。就像下圍棋時尋找一條制勝序列，AI必須在指數級增長的可能路徑中找到正確解法。而在數學中，這個複雜度要遠超棋類遊戲。
　　
據物理學家組織網今年2月報道，為應對這一挑戰，古科夫團隊開發了一種方法，將多個步驟打包成“超級步驟”，相當於穿上“巨人靴”跨越大段路程。他們設計了一個系統，其中強化學習模型負責提出超級步驟，另一個模型負責驗證其合理性。
　　
該策略在經典未解難題——安德魯斯-柯蒂斯猜想上取得了突破。雖然尚未證明或推翻該猜想，但借助AI，科學家推翻了一個40年來被廣泛引用的“反例”。這曾被視為證明該猜想錯誤的關鍵依據。
　　
牛津大學數學家馬丁·布裏森對此表示肯定：“排除錯誤路徑，是科研中非常有價值的一步。”
　　
古科夫相信，這種“壓縮路徑”的思路適用於所有需要推理鏈條的領域。他希望，這種方法不僅能推動AI跳出固有模式，也為數學研究帶來新突破。
　　
真正的創新和突破仍屬人類
　　
跳出思維定式，正是數學家攻克難題的關鍵。數學常被看作機械推理，而高等數學則更像是一場實驗，充滿一波三折的試錯與靈光乍現的頓悟。
　　
這正是AlphaEvolve等AI工具的優勢所在。它通過LLM不斷生成並改進解題代碼，配合第二個模型評估每一輪結果，最終提出比人類更優的解法。這種方法不僅能獨立探索，也支持人類隨時介入，提供靈感和指令。
　　
澳大利亞悉尼大學數學家喬迪·威廉姆森強調，探索性思維是數學的核心。據英國《新科學家》網站報導，他與Meta合作開發了PatternBoost AI系統，可根據一個數學想法生成相似概念，幫助激發靈感。他說：“這就像是這裏有一堆有趣的東西，我不知道是怎麼回事，但你能再生成一些類似的東西嗎？”
　　
這種頭腦風暴在數學中至關重要，它是新想法產生的源泉。以二十面體為例——古希臘人通過純粹推理發現了它，其形狀並不存在於自然界中，卻深刻影響了數學的發展。威廉姆森希望，AI未來也能協助發現類似的“新數學對象”。
　　
不過，目前AI仍缺乏真正的創造力。讓AI贏棋是一回事，讓它發明圍棋遊戲則是另一回事。像AlphaEvolve和PatternBoost這樣的工具或許能作為人類直覺的“偵察兵”，幫助人們發現路徑、避開死路，但專家普遍認為，真正的創新與突破，仍然屬於人類。

來源：科技日報